数值微分方程是数值数学中研究微分方程数值解的一门学科，通过将微分方程转化为差分方程，微分利用数值方法求解离散化的解法差分方程来逼近微分方程的解。
欧拉方法是数值最基本的数值微分方程解法之一。它通过使用微分方程的微分切线近似替代微分方程来求解。公式表示为：
yn+1= yn+ h * f(xn, yn)其中，解法yn是数值在点(xn, yn)处的已知解，h是微分步长，f(xn, yn)是解法方程的导数。欧拉方法适用于简单的数值微分方程，但是微分误差较大，步长需要足够小才能获得准确的解法近似解。
改进的欧拉方法，也称为Heun方法，微分通过使用两个切线近似微分方程来提高精度。解法它的公式表示为：
yn+1= yn+ (h/2) * [f(xn, yn) + f(xn+1, yn+ h * f(xn, yn))]在每个步长内，先使用欧拉方法预测下一个点处的解，然后使用这个预测的解计算下一个点处的导数，从而获得更准确的近似解。
四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值微分方程解法。它通过多次递归计算步长内的导数，最后通过加权平均值得到近似解。公式表示为：
yn+1= yn+ (h/6) * [k1+ 2k2+ 2k3+ k4]其中，k1, k2, k3, k4是根据导数计算得到的斜率。
四阶龙格-库塔方法具有很高的精度，适用于大多数微分方程的求解。但是它的计算量较大，适合计算机求解。
数值微分方程解法是在离散化的差分方程上逼近微分方程解的方法。欧拉方法是最基本的解法，但误差较大；改进的欧拉方法通过使用两个切线提高精度；四阶龙格-库塔方法是更高阶的解法，精度较高但计算量大。根据实际问题的需求，选择合适的数值微分方程解法可获得准确的近似解。
